Topic outline

    1. Основные понятия теории групп.

    1.1    Группы преобразований и абстрактные группы.

    1.2   Отображения групп. Подгруппы. 

    1.3  Однородные пространства. 

    1.4    Основные типы групп.

    1.5    Прямое и полупрямое произведения групп.

    1.6   Топологические группы и однородные пространства.

     

    1. Группы Ли и алгебры Ли.

    2.1  Элементы анализа на многообразиях. Векторные поля и дифференциальные формы.  

    2.2   Группы Ли.

    2.3   Ассоциативные алгебры и алгебры Ли.

    2.4   Алгебра Ли группы Ли. Экспоненциальное отображение.

    2.5  Универсальная обертывающая алгебра и операторы Казимира.

    2.6   Примеры.

        

    1. Представления  групп.

    3.1  Линейные представления и сплетающие операторы.

    3.2   Унитарные представления.

    3.3   Тензорное произведение представлений.

    3.4   Индуцированные представления.

     

     

    1. Разложение представлений.

    4.1  Разложение конечномерных представлений. 

    4.2   Неприводимые представления. Лемма Шура.

    4.3   Вполне приводимые представления.

     

    1. Представления симметрической группы.

    5.1  Схемы Юнга.

    5.2  Спиновые, изоспиновые и пространственные волновые функции системы фермионов с определенной симметрией.

     

    1. Представления  группы SU(2).

    6.1  Группа пространственных вращений и группа SU(2).

    6.2  Корневая структура алгебры Ли группы SU(2).

    6.3  Старший вес и неприводимые представления группы SU(2).

    6.4  Тензорное произведение неприводимых представлений и коэффициенты Клебша - Гордана.

     

    1. Представления  группы SU(3).

    7.1 Алгебра Ли группы SU(3), регулярные и сингулярные элементы.

    7.2 Подалгебра Картана  и разложение по корневым подпространствам.

    7.3 Классификация неприводимых представлений.

    7.4 Операторы Казимира и модель Эллиота для описания легких ядер.

     

     

     

    1. Корневая структура полупрострых алгебр Ли

    8.1  Регулярные элементы, подалгебры Картана и корневые подпространства.

    8.2  Инвариантные билинейные формы. Форма Киллинга.

    8.3  Системы простых корней и диаграммы Дынкина. Матрица Картана и классификация простых алгебр Ли.

    8.4  Регулярные и нерегулярные подалгебры. Индекс подалгебры. Ограничение представления на подалгебру.

    8.5  Примеры: модели Великого объединения.

     

    1. Некоторые ортогональные группы

    9.1  Группа вращений O(4).

    9.2  Группа Лоренца.

    9.3  Алгебры Клиффорда и спинорные представления групп вращения.

     

    1.  Индуцированные представления группы Пуанкаре и релятивистские волновые  уравнения

    10.1 Состояния релятивистской частицы и представления группы Пуанкаре.

    10.2  Спинорные волновые функции в случае ненулевой и нулевой  массы.

    10.3  Уравнения для спинорных полей.

     

    ЛИТЕРАТУРА

    1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М.:

                Мир, 1980

    1.  Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., "Дифференциальная геометрия и

                алгебры Ли и их приложения в теории поля", М.: Эдиториал УРСС,

                 1998 г.

    1.  Гото М., Гроссханс  Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.
    2.  Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
    3.  Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.

                  Методы и приложения. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

    1.  Дынкин Е.Б. Классификация простых алгебр Ли. Мат. сборник, т. 18,

                 347--352 (1946).

    1.   Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп. Труды

                  Московского математического общества, т. 1, 39--166 (1952).

    1.   Кириллов А.А. Элементы теории представлений.

           9.     Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. т.1/2.

                   М.: Наука, 1981.

          10.    Ляховский В.Л., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные

                    частицы. Л.: изд-во ЛГУ, 1983.

    1.    Новожилов Ю.В.  Введение в теорию элементарных частиц.  М.: Наука, 1972.
    2.    Номидзу  К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИИЛ, 1960.
    3.    Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой      механике.    М.: Эдиториал УРСС, 2010.
    4.    Эллиот Дж.,  Добер П. Симметрия в физике. т. 1/2.  М.: Мир, 1983.

     

    1.  Cahn R.N. Semi-simple Lie algebras and their representations.

                 Reading, MA: Benjamin/Cummings Pub. Com., 1984.         

    16.   Langacker P. Grand unified theories and proton decay. Physics Reports v.72, No 4,   pp.185-385 , 1981.