Тематический план
Теория групп в физике элементарных частиц и атомного ядра (64 часа)
И. П. Волобуев
Основные понятия теории групп.
1.1 Группы преобразований и абстрактные группы.
1.2 Отображения групп. Подгруппы.
1.3 Однородные пространства.
1.4 Основные типы групп.
1.5 Прямое и полупрямое произведения групп.
1.6 Топологические группы и однородные пространства.
- Группы Ли и алгебры Ли.
2.1 Элементы анализа на многообразиях. Векторные поля и дифференциальные формы.
2.2 Группы Ли.
2.3 Ассоциативные алгебры и алгебры Ли.
2.4 Алгебра Ли группы Ли. Экспоненциальное отображение.
2.5 Универсальная обертывающая алгебра и операторы Казимира.
2.6 Примеры.
- Представления групп.
3.1 Линейные представления и сплетающие операторы.
3.2 Унитарные представления.
3.3 Тензорное произведение представлений.
3.4 Индуцированные представления.
- Разложение представлений.
4.1 Разложение конечномерных представлений.
4.2 Неприводимые представления. Лемма Шура.
4.3 Вполне приводимые представления.
- Представления симметрической группы.
5.1 Схемы Юнга.
5.2 Спиновые, изоспиновые и пространственные волновые функции системы фермионов с определенной симметрией.
- Представления группы SU(2).
6.1 Группа пространственных вращений и группа SU(2).
6.2 Корневая структура алгебры Ли группы SU(2).
6.3 Старший вес и неприводимые представления группы SU(2).
6.4 Тензорное произведение неприводимых представлений и коэффициенты Клебша - Гордана.
- Представления группы SU(3).
7.1 Алгебра Ли группы SU(3), регулярные и сингулярные элементы.
7.2 Подалгебра Картана и разложение по корневым подпространствам.
7.3 Классификация неприводимых представлений.
7.4 Операторы Казимира и модель Эллиота для описания легких ядер.
- Корневая структура полупрострых алгебр Ли
8.1 Регулярные элементы, подалгебры Картана и корневые подпространства.
8.2 Инвариантные билинейные формы. Форма Киллинга.
8.3 Системы простых корней и диаграммы Дынкина. Матрица Картана и классификация простых алгебр Ли.
8.4 Регулярные и нерегулярные подалгебры. Индекс подалгебры. Ограничение представления на подалгебру.
8.5 Примеры: модели Великого объединения.
- Некоторые ортогональные группы
9.1 Группа вращений O(4).
9.2 Группа Лоренца.
9.3 Алгебры Клиффорда и спинорные представления групп вращения.
- Индуцированные представления группы Пуанкаре и релятивистские волновые уравнения
10.1 Состояния релятивистской частицы и представления группы Пуанкаре.
10.2 Спинорные волновые функции в случае ненулевой и нулевой массы.
10.3 Уравнения для спинорных полей.
ЛИТЕРАТУРА
- Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М.: Мир, 1980
- Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., "Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля", М.: Эдиториал УРСС, 1998 г.
- Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.
- Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
- Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.
Методы и приложения. 2-е изд. М.: Наука, 1986.
- Дынкин Е.Б. Классификация простых алгебр Ли. Мат. сборник, т. 18,
347--352 (1946).
- Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп. Труды
Московского математического общества, т. 1, 39--166 (1952).
- Кириллов А.А. Элементы теории представлений.
9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. т.1/2.
М.: Наука, 1981.
10. Ляховский В.Л., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные
частицы. Л.: изд-во ЛГУ, 1983.
- Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. М.: Наука, 1972.
- Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИИЛ, 1960.
- Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Эдиториал УРСС, 2010.
- Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. т. 1/2. М.: Мир, 1983.
- Cahn R.N. Semi-simple Lie algebras and their representations.
Reading, MA: Benjamin/Cummings Pub. Com., 1984.
16. Langacker P. Grand unified theories and proton decay. Physics Reports v.72, No 4, pp.185-385 , 1981.